Question

有10位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均比賽一場)，用x₁、y₁順次表示第一號選手勝與負的場數；用x₂、y₂順次表示第二號選手勝與負的場數，…，用x₁₀、y₁₀順次表示第10號選手勝與負的場數，求證：＋…＋＋…＋．

Answer 1

答案：
解析：

證明：∵(＋…)－(＋…＋) 　　＝()＋()＋…＋() 　�。�(x1＋y1)(x1－y1)＋(x2＋y2)(x2－y2)＋…＋(x10＋y10)(x10－y10) 　　＝9(x1－y1)＋9(x2－y2)＋…＋9(x10－y10) 　�。�9[(x1＋x2＋…＋x10)－(y1＋y2＋…＋y10)]， 　　又∵每位選手的勝場數之和與負場數之和相等． 　　∴原式＝0，即＋…＋＋…＋． 　　說明：顯然x1，y1，x2，y2，…，x10，y10是未知的，不確定的，但x1＋y1，x2＋y2，…，x10＋y10卻是一個定值，即每位選手勝、負的場數和為定值9，應從此入手．本題要證兩者相等，轉化為證兩者之差為零，即采用作差法求解；本題在變化之中隱含著兩個不變量每位選手的勝負場數和每位選手的比賽場數相等，所有選手的勝場數和與負場數和相等，這就是解決本題的關鍵所在．