Question

如圖，把一張長(zhǎng)10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．

（1）要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？
（2）折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積是否有更大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由；
（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒(méi)有，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）1cm；（2）邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，側(cè)面積最大為40.5cm²；（3）邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²

解析試題分析：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可列方程求解；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面積公式即可得到與的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面積公式即可得到與的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，則
．   
即．
解得（不合題意，舍去），．
剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm．
（2）有側(cè)面積最大的情況．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，
則與的函數(shù)關(guān)系式為：．
即．（）
改寫(xiě)為．
當(dāng)時(shí)，．
即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm²． 
（3）有側(cè)面積最大的情況．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm²．
若按如圖所示的方法剪折，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：．
即．
當(dāng)時(shí)，．  
若按如圖所示的方法剪折，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：．
即．
當(dāng)時(shí)，．
比較以上兩種剪折方法可得，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到量與量的關(guān)系，正確列出二次函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)熟練掌握配方法求二次函數(shù)最值的方法.