(2013•沙灣區(qū)模擬)如圖,二次函數(shù)y=-
14
x2+bx+c
的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(-4,-4),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)證明:∠BAO=∠CAO(其中O是原點(diǎn));
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P,使|CP+BP|的值最。
(3)若E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),過(guò)E作y軸的平行線,分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于F、D兩點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)E,使DE=2DF?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)首先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式,進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo),得出tan∠BAO=tan∠CAO即可得出答案;
(2)根據(jù)C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為C′(2,2),P點(diǎn)為BC′與x=1的交點(diǎn),此時(shí)|CP+BP|的值最小,得出P的坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)圖象得出DE,DF的長(zhǎng),進(jìn)而分別求出x的值即可.
解答:(1)證明:過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于點(diǎn)D,
∵二次函數(shù)y=-
1
4
x2+bx+c
的圖象過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(-4,-4),
-
1
4
×16+4b+c=0
-
1
4
×16-4b+c=-4
,
解得:
b=
1
2
c=2

∴拋物線解析式為y=-
1
4
x2+
1
2
x+2,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為:(0,2),
∴CO=2,AO=4,BQ=4,AQ=4+4=8,
∵tan∠BAO=tan∠CAO=0.5,
∴∠BAO=∠CAO;

(2)解:∵C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)為C′(2,2),P點(diǎn)為BC′與x=1的交點(diǎn),
∴P的坐標(biāo)為(1,1),
此時(shí)|CP+BP|的值最;

(3)解:AB:y=
1
2
x-2,設(shè)E(x,
1
2
x-2),(-4<x<4),
則F(x,-
1
4
x2+
1
2
x+2),DE=|
1
2
x-2|=2-
1
2
x,DF=|-
1
4
x2+
1
2
x+2|
當(dāng)2-
1
2
x=
1
2
x2+x+4,
解得:x1=-1,x2=4(舍去),所以E(-1,-
5
2
),
當(dāng)2-
1
2
x=-
1
2
x2-x-4,
解得:x1=-3,x2=4(舍去),所以E(-3,-
7
2
).
綜上所述:點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(-1,-
5
2
),(-3,-
7
2
).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及軸對(duì)稱求最小值問(wèn)題和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì),注意利用絕對(duì)值的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵.
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6x
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下列結(jié)論:①AC•AB=2R•AD;②EF∥BC;③CF•AC=EF•CP;④
CP
BP
=
SinB
SinF

請(qǐng)你把正確結(jié)論的番號(hào)都寫上
①②③④
①②③④
.(填錯(cuò)一個(gè)該題得0分)

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