Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的長；
（2）若點(diǎn)G在DC上，且∠AGC=120°，求證：AG=EG+FG．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：壓軸題

分析：（1）連接EF，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=AF，從而得到△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF，再判斷出△CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系求解即可；
（2）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AGF=60°，然后判斷出點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，從而得到∠AGE=∠AFE=60°，再求出∠CGE=60°，延長GE交AB的延長線于H，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠H=∠CGE=60°，再求出∠GAF=∠HAE，然后利用“角角邊”證明△AFG和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AH，F(xiàn)G=EH，從而得證．

解答：（1）解：如圖，連接EF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠B=∠D BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=2，
∵BE=DF，BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EC=

2

2

EF=

2

2

×2=

2

；

（2）證明：∵∠AGC=120°，
∴∠AGF=180°-∠AGC=180°-120°=60°，
又∵△AEF是等邊三角形，（已證）
∴∠AEF=60°，
∴點(diǎn)A、E、G、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AGE=∠AFE=60°，
∴∠CGE=∠AGC-∠AGE=120°-60°=60°，
延長GE交AB的延長線于H，
∵AB∥CD，
∴∠H=∠CGE=60°，
∴∠H=∠AGF，
又∵∠GAF+∠EAG=∠EAF=60°，
∠HAE+∠EAG=∠GAB=60°，
∴∠GAF=∠HAE，
在△AFG和△AEH中，

∠H=∠AGF ∠GAF=∠HAE AE=AF

，
∴△AFG≌△AEH（AAS），
∴AG=AH，F(xiàn)G=EH，
∵∠AGE=60°，
∴△AGH是等邊三角形，
∵AH=GH=EG+EH=EG+FG，
即AG=EG+FG．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）先求出四點(diǎn)共圓，然后求出∠AGE=∠AFE=60°，然后作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．