Question

【題目】某文具店經(jīng)銷甲、乙兩種不同的筆記本.已知：兩種筆記本的進(jìn)價(jià)之和為10元，甲種筆記本每本獲利2元，乙種筆記本每本獲利1元，馬陽(yáng)光同學(xué)買4本甲種筆記本和3本乙種筆記本共用了47元.

（1）甲、乙兩種筆記本的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）該文具店購(gòu)入這兩種筆記本共60本，花費(fèi)不超過(guò)296元，則購(gòu)買甲種筆記本多少本時(shí)該文具店獲利最大？

（3）店主經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)平均每天可售出甲種筆記本350本和乙種筆記本150本.如果甲種筆記本的售價(jià)每提高1元，則每天將少售出50本甲種筆記本；如果乙種筆記本的售價(jià)每提高1元，則每天少售出40本乙種筆記本，為使每天獲取的利潤(rùn)更多，店主決定把兩種筆記本的價(jià)格都提高元，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)定為多少元時(shí)，才能使該文具店每天銷售甲、乙兩種筆記本獲取的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）甲種筆記本的進(jìn)價(jià)為6元/本，乙種筆記本的進(jìn)價(jià)為4元/本．

（2）28

（3）當(dāng)x定為2元時(shí)，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1260元．

【解析】

（1）設(shè)甲種筆記本的進(jìn)價(jià)為m元/本，則乙種筆記本的進(jìn)價(jià)為（10-m）元/本，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，求解即可,
（2）設(shè)購(gòu)入甲種筆記本n本，則購(gòu)入乙種筆記本（60-n）本，根據(jù)花費(fèi)不超過(guò)296元，即可得出關(guān)于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍，再結(jié)合n為正整數(shù)，即可解題,
（3）設(shè)把兩種筆記本的價(jià)格都提高x元的總利潤(rùn)為w元，根據(jù)總利潤(rùn)=單本利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

解：（1）設(shè)甲種筆記本的進(jìn)價(jià)為m元/本，則乙種筆記本的進(jìn)價(jià)為（10-m）元/本，
根據(jù)題意得：4（m+2）+3（10-m+1）=47，
解得：m=6，
∴10-m=4．
答：甲種筆記本的進(jìn)價(jià)為6元/本，乙種筆記本的進(jìn)價(jià)為4元/本．

（2）設(shè)購(gòu)入甲種筆記本n本，則購(gòu)入乙種筆記本（60-n）本，
根據(jù)題意得：6n+4(60-n)296,

解得： n≤28,

則利潤(rùn)=2n+(60-n)=n+60,

∵一次項(xiàng)系數(shù)大于0,

∴利潤(rùn)隨n的增大而增大,
∵n為正整數(shù)，
∴n=28時(shí), 該文具店獲利最大為88,
（3）設(shè)把兩種筆記本的價(jià)格都提高x元的總利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意得：w=（2+x）（350-50x）+（1+x）（150-40x）=-90（x-2）2+1260，
∵在w=-90（x-2）2+1260中，a=-90＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，w取最大值，最大值為1260,
答：當(dāng)x定為2元時(shí)，才能使該文具店每天銷售甲、乙筆記本獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為,1260元．