Question

8．扇形BOA的弧長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$π，面積為$\frac{4}{3}$π，在$\widehat{AB}$上取一點(diǎn)C，作CP⊥OA于P，CQ⊥OB于Q，△CPO的角平分線PN、QM交于I．當(dāng)OP≤$\sqrt{3}$時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． ⊙O半徑為2
• B． ∠PCQ=60°
• C． NQ+MP=$\sqrt{3}$
• D． CN+CM=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)、面積求出半徑、圓心角，不難判斷A、B正確，在PQ上取一點(diǎn)R，使得QR=NQ，連接IR，只要證明QN=QR，PM=PR，得NQ+PM=QP，求出QP即可判斷C正確，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：∵扇形BOA的弧長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$π，面積為$\frac{4}{3}$π，
設(shè)扇形的圓心角為n，圓的半徑為r，
∴$\frac{nπr}{180}$=$\frac{4}{3}$π，$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
∴nr=240，nr²=480，
∴r=2，n=120°，故A正確．
∵CP⊥OA于P，CQ⊥OB于Q，
∴∠CQO=∠CPO=90°，
∴∠PCQ=360°-（∠CPQ+∠CQO+∠POQ）=60°，故B正確．
在PQ上取一點(diǎn)R，使得QR=NQ，連接IR，
∵△CPO的角平分線PN、QM交于I，
∴∠NQI=∠RQI，∠MPI=∠RPI，
∵QI=QI，
∴△NQI≌△RQI，
∴IN=IR，∠QIN=∠QIR，
∵∠PIQ=180°-$\frac{1}{2}$（∠CQP+∠CPQ）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠PCQ）=120°，
∴∠QIN=∠QIR=60°，∠PIM=∠PIR=60°，∵IP=IP，
∴△MPI≌△RPI，
∴MP=RP，IM=IR，
∴IN=IR=IM，
∵QR+PR=PQ，
∴NQ+MP=PQ，
∵O、P、C、Q四點(diǎn)共圓，OC為直徑，
∴PQ=OC•sin∠PCQ=$\sqrt{3}$，
∴NQ+MP=$\sqrt{3}$，故C正確．
∵OC＞PC=MP+CM，OC＞QC=NQ+CN，
∴2OC＞NQ+MP+CN+CM=$\sqrt{3}$+CN+CM，
∴CN+CM＜4-$\sqrt{3}$，
∴CN+CM的值不能確定．故D錯(cuò)誤，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查扇形的弧長(zhǎng)、面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．