Question

2．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（8，0），B（2，0），C（0，-6）三點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PB0C的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，求出四邊形PB0C周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點(diǎn)式為y=a（x-8）（x-2），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a=-$\frac{3}{8}$，于是得到拋物線(xiàn)解析式為y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）先確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=5，連結(jié)BC交直線(xiàn)x=5于點(diǎn)P，如圖，利用對(duì)稱(chēng)性得到PA=PB，所以PB+PC=PC+PA=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得到PC+PB最短，于是可判斷此時(shí)四邊形PBOC的周長(zhǎng)最小，然后計(jì)算出AC=10，再計(jì)算OC+OB+AC即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-8）（x-2），
把C（0，-6）代入得a•（-8）•（-2）=-6，解得a=-$\frac{3}{8}$，
所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y=-$\frac{3}{8}$（x-8）（x-2），即y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{15}{4}$x-6；
（2）存在．
因?yàn)锳（8，0），B（2，0），
所以?huà)佄锞�(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=5，
連結(jié)AC交直線(xiàn)x=5于點(diǎn)P，如圖，則PA=PB，PB+PC=PC+PA=AC，此時(shí)PC+PB最短，
所以此時(shí)四邊形PBOC的周長(zhǎng)最小，
因?yàn)锳C=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
所以四邊形PBOC周長(zhǎng)的最小值為2+6+10=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了最短路徑問(wèn)題．