【題目】如圖,拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A),B),C)三點(diǎn).

1)求拋物線(xiàn)的解析式;

2)在直線(xiàn)AC下方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D,使得△DCA的面積最大,求點(diǎn)D的坐標(biāo);

3)設(shè)點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),試判斷拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)H滿(mǎn)足?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)拋物線(xiàn)的解析式為;

2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-1).

3)點(diǎn)H存在.點(diǎn)H坐標(biāo)為

【解析】

試題(1)由待定系數(shù)法即可得;

由題意可求得直線(xiàn)AC的解析式為.如圖,

設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t-2t0),則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.過(guò)Dy軸的平行線(xiàn)交ACE.則E點(diǎn)的坐標(biāo)為.從而可得,用h表示點(diǎn)C到線(xiàn)段DE所在直線(xiàn)的距離,則可得

,由-2t0可知當(dāng)t=-1時(shí),△DAC面積最大,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-1).

點(diǎn)H存在.

由(1)知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

如圖,假設(shè)存在點(diǎn)H,滿(mǎn)足

作直線(xiàn)MH軸于點(diǎn)K,0),作MN⊥軸于點(diǎn)N. 可得,從而有,從而得點(diǎn)K的坐標(biāo)為(),得直線(xiàn)MK的解析式為,解方程組,得.將代入中,解得,由于直線(xiàn)MN與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)(其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M).從而知 拋物線(xiàn)上必存在一點(diǎn)H,使∠AMH90, 此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為

試題解析:(1該拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C02),可設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為

A-2,0),B-,0)代入,得,解得:

此拋物線(xiàn)的解析式為

2)由題意可求得直線(xiàn)AC的解析式為.如圖,

設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t-2t0),則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

過(guò)Dy軸的平行線(xiàn)交ACE∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為

,用h表示點(diǎn)C到線(xiàn)段DE所在直線(xiàn)的距離,

∵-2t0

當(dāng)t=-1時(shí),△DAC面積最大,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1-1).

3)點(diǎn)H存在.

由(1)知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

如圖,假設(shè)存在點(diǎn)H,滿(mǎn)足

作直線(xiàn)MH軸于點(diǎn)K,0),作MN⊥軸于點(diǎn)N

,,,

,,,

,,點(diǎn)K的坐標(biāo)為(),所以直線(xiàn)MK的解析式為,,把代入,化簡(jiǎn),得:0

,.將代入中,解得

直線(xiàn)MN與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)(其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M).

拋物線(xiàn)上必存在一點(diǎn)H,使∠AMH90, 此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為

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