Question

19．如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件，求∠BPC的度數(shù)．
（1）若∠A=50°，則∠BPC=115°；
（2）從上述計算中，我們能發(fā)現(xiàn)：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A（用∠A表示）；
（3）如圖2，若BP，CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，交于點(diǎn)P，則∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．（用∠A表示），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB=130°，再由角平分線定義得：∠PBC+∠PCB=65°，從而得出∠BPC的度數(shù)；
（2）與（1）同理可得：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（3）由外角平分線的定義得：∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠BCE），并由兩個平角和為360°和三角形內(nèi)角和得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°，
故答案為：115°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
由（1）得：∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A
故答案為：90°+$\frac{1}{2}$∠A
（3）∵BP，CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠BCE），
∵∠DBC+∠ABC+∠ACB+∠BCE=360°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB），
=360°-（180°-∠A），
=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故答案為：90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點(diǎn)評 本題主要考查了內(nèi)角平分線和外角平分線的定義，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合，得出內(nèi)角平分線的夾角和外角平角線的夾角與第三個角的關(guān)系．