Question

（1）已知：如圖，?ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求證：BE=DF．
（2）已知等腰三角形內(nèi)接于半徑為5的⊙O中，如果底邊BC的長為6，求底角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AB∥CD，AB=CD，然后又由AE⊥BD，CF⊥BD，利用AAS，即可證得△ABE≌△CDF，則可證得BE=DF．
（2）首先根據(jù)題意作圖，注意等腰三角形分為銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，然后利用垂徑定理與勾股定理，即可求得AD與BD的長，繼而求得底角的正切值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF．

（2）解：①如圖1：作AD⊥BC于D，連接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AD過圓心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD=

OB2-BD2

=4，
∴AD=OD+OA=4+5=9，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

9

3

=3；
②如圖2：作AD⊥BC于D，連接OB，
∵AB=AC，
∴BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AD過圓心O，
∴OB=5，
在Rt△OBD中：OD=

OB2-BD2

=4，
∴AD=OA-OD=5-4=1，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

1

3

．
∴底角的正切值為3或

1

3

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，以及勾股定理等的知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．