Question

【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點P在AB、CD外部，則有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；


（2）在如圖2中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：不成立，結(jié)論是∠BPD=∠B+∠D．

延長BP交CD于點E，

∵AB∥CD，

∴∠B=∠BED，

又∵∠BPD=∠BED+∠D，

∴∠BPD=∠B+∠D；

（2）解：結(jié)論：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．

連接QP并延長，

∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，

∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，

∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）解：由（2）的結(jié)論得：∠AFG=∠B+∠E．∠AGF=∠C+∠D．

又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

（或由（2）的結(jié)論得：∠AGB=∠A+∠B+∠E且∠AGB=∠CGD，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

【解析】本題主要考查了平行線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理等知識點的應用，根據(jù)三角形外交性質(zhì)均可得出答案.

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．