Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為（8，4），將該長方形沿OB翻折，點A的對應(yīng)點為點D，OD與BC交于點E．
（1）證明：EO=EB；
（2）求點E的坐標(biāo)；
（3）點P是直線OB上的任意一點，且△OPC是等腰三角形，求滿足條件的點P的坐標(biāo)；
（4）點M是OB上任意一點，點N是OA上任意一點，是否存在點M、N，使得AM+MN最�。咳舸嬖�，求出其最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；
（2）由（1）得到EO=EB設(shè)OE=x則DE=8-x，再用勾股定理建立方程16+（8-x）²=x²，求出x即可；
（3）設(shè)出點P坐標(biāo)，分三種情況討論計算即可；
（4）根據(jù)題意判斷出過點D作OA的垂線交OB于M，OA于N，求出DM即可．

解答 解：（1）∵將該長方形沿OB翻折，點A的對應(yīng)點為點D，OD與BC交于點E．
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB，
（2）由（1）有，EO=EB，
∵長方形OABC的頂點A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為（8，4），
設(shè)OE=x，則DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根據(jù)勾股定理得，DB²+DE²=BE²，
∴16+（8-x）²=x²，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴E（3，4），
（3）點B的坐標(biāo)為（8，4），
∴直線OB解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∵點P是直線OB上的任意一點，
∴設(shè)P（a，$\frac{1}{2}$a），
∵O（0，0），C（0，4），
∴OC=4，PO²=a²+（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{5}{4}$a²，PC²=a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²，
∵△OPC是等腰三角形
①當(dāng)PO=PC時，∴PO²=PC²，
∴$\frac{5}{4}$a²=a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²，
∴a=4，
∴P（4，2），
②當(dāng)PO=OC時，∴PO²=OC²，
∴$\frac{5}{4}$a²=16，
∴a=±$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或P（-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
③當(dāng)PC=OC時，∴PC²=OC²，
∴a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²=16，
∴a=0（舍）或a=$\frac{16}{5}$，
∴P（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
∴滿足條件的點P的坐標(biāo)為（4，2）或（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
（4）如圖，

過點D作OA的垂線交OB于M，交OA于N，此時的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，
由（2）有，DE=3，BE=5，BD=4，
∴根據(jù)面積有DE×BD=BE×DG，
∴DG=$\frac{DE×BD}{BE}$=$\frac{12}{5}$，
由題意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=$\frac{12}{5}$+4=$\frac{32}{5}$．
即：AM+MN的最小值為$\frac{32}{5}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵求出點E的坐標(biāo)．