Question

12．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-$\frac{9}{2}$），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．P點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足∠PAO不大于45°，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．
（3）是否存在P點(diǎn)，使∠PAC=∠BCO？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，把點(diǎn)（4，0）代入即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1中，求出∠PAO=45°時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此即可解決問(wèn)題．
（3）存在．如圖2中，∠P₁AO=∠BCO，設(shè)AP₁交y軸于E，理由相似三角形求出OE的長(zhǎng)，再求出直線CE與拋物線的交點(diǎn)即可解決問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性再求出P₂坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，0），
∴0=9a-$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$．
（2）∵y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$．
令x=0，則y=-4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-4），
令y=0，（x-1）²=9，解得x=-2或4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（-2，0），點(diǎn)A坐標(biāo)（4，0）．
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
如圖1中，過(guò)點(diǎn)A作直線AP₁⊥AC，交拋物線于P₁，
∵直線AC為y=x-4，
∴直線AP₁為y=-x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}（x-1）^{2}-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P₁坐標(biāo)（-4，8），
∴當(dāng)點(diǎn)P在P₁與C之間時(shí)，∠PAO不大于45°，
∴-4≤m≤0．
（3）存在．
理由：如圖2中，設(shè)PA交y軸于M，作MN⊥AC于N．

設(shè)MN=CN=x，
∵∠MAN=∠BCO，
∴tan∠MAN=tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
∴AN=2x，
∴AC=CN+AN=4$\sqrt{2}$，
∴3x=4$\sqrt{2}$，
∴x=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴MC=$\sqrt{2}$x=$\frac{8}{3}$，OM=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴M（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直線PA的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{16}{9}$）時(shí)，∠PAO=∠BCO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰直角三角形性質(zhì)，一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)，學(xué)會(huì)利用方程組求函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．