Question

8．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（5，0），以O(shè)A為半徑作半圓O交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B是該半圓上一動點(diǎn)，連結(jié)CB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，直線DE與BC交于點(diǎn)F，連結(jié)OF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，①請?jiān)趫D2中畫出圖形，此時(shí)直線CD與⊙O的位置關(guān)系是CD與⊙O相切．②求線段AB的長．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)（如圖3所示），求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，求線段EF的長．
（4）如圖4，在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，若點(diǎn)E位于O、C之間時(shí)，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷出CB是AD的垂直平分線，再由勾股定理計(jì)算即可；
（2）先求出∠DAO=60°，然后用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可；
（3）先利用勾股定理計(jì)算出DE，在判斷出△CEF∽△DEA，利用比例式計(jì)算；
（4）分兩種情況計(jì)算①當(dāng)∠EOF=∠A時(shí)，用$\frac{OF}{AD}=\frac{OE}{AE}$=$\frac{1}{4}$計(jì)算，②當(dāng)∠EOF=∠ABC時(shí)，和前面方法也一樣．

解答 解：（1）①作圖如圖2所示，

∵DE⊥x，AC為⊙O的直徑，
∴直線CD與⊙O相切，
②∵AC是⊙O的直徑，
∴∠CBA=90°，
∵DB=AB，
∴CB是AD的垂直平分線，
∴DC=AC=10，
根據(jù)勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+D{C}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∴AB=5$\sqrt{2}$；
（2）如圖3，

點(diǎn)E，O重合時(shí)，點(diǎn)D落在y軸上，連接OB，
∵∠AOD=90°，DB=AB，
∴OB=$\frac{1}{2}$AD=AB=OA，
∴∠DAO=60°，
在Rt△AOD中，OD=OAtan∠DAO=5tan60°=5$\sqrt{3}$，
∴D（0，5$\sqrt{3}$），
（3）如圖4，連接CD，

同（1）②的方法一樣，可得CD=CA=10，
當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，
CE=OC+OE=6，AE=OA-OE=4，
在Rt△CED中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
∵∠ACB=90°-∠CAB=∠ADE，∠CEF=∠DEA，
∴△CEF∽△DEA，
∴$\frac{EF}{EA}=\frac{CE}{DE}$，
∴$\frac{EF}{4}=\frac{6}{8}$，
∴EF=3；
（4）當(dāng)∠EOF=∠A，則OF∥BD，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$BD，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{OE}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{-x}{5-x}=\frac{1}{4}$，
∴x=-$\frac{5}{3}$，
∴E（-$\frac{5}{3}$，0），
當(dāng)∠EOF=∠ABC，同理可得x=-$\frac{5}{2}$，
∴E（-$\frac{5}{2}$，0）；
即：E（-$\frac{5}{3}$，0）或E（-$\frac{5}{2}$，0）；

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，圓周角定理，關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)基本條件，圖形的性質(zhì)，分類求解．