【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(3,0),B(m,m+1),且與y軸相交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式并寫出其圖象頂點D的坐標(biāo);

(2)求CAD的正弦值;

(3)設(shè)點P在線段DC的延長線上,且PAO=CAD,求點P的坐標(biāo).

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,頂點D(1,4);(2);(3),,(﹣6,﹣3).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(3,0),B(m,m+1),求得m和n的值即可;

(2)根據(jù)A,C,D三點的坐標(biāo),求得CD=,AC=,AD=,得到CD2+AC2=AD2,根據(jù)勾股定理的逆定理得出ACD是直角三角形,且ACD=90°,據(jù)此求得CAD的正弦值;

(3)先求得直線CD為y=x+3,再設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a+3),然后分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)點P在x軸上方時,過點P作PEx軸于E;當(dāng)點P在x軸下方時,過點P作PFx軸于F,分別判定ACD∽△AEP,ACD∽△AFP,列出比例式求得a的值即可.

試題解析:(1)二次函數(shù)y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(3,0),B(m,m+1),,解得二次函數(shù)的解析式為:y=﹣x2+2x+3,頂點D的坐標(biāo)為(1,4);

(2)如圖所示,在y=﹣x2+2x+3中,當(dāng)x=0時,y=3,C(0,3).

A(3,0),D(1,4),CD=,AC=,AD=,CD2+AC2=AD2∴△ACD是直角三角形,且ACD=90°,sinACD==;

(3)直線CD經(jīng)過C(0,3),D(1,4),設(shè)可設(shè)直線CD為y=kx+b,則

,解得,直線CD為y=x+3,設(shè)點P的坐標(biāo)為(a,a+3),如圖所示,當(dāng)點P在x軸上方時,過點P作PEx軸于E,則

PE=a+3,AE=3﹣a,∵∠AEP=ACD=90°,PAO=CAD,∴△ACD∽△AEP,,即,解得a=a+3=,此時P的坐標(biāo)為(,);

如圖所示,當(dāng)點P在x軸下方時,過點P作PFx軸于F,則

PF=﹣(a+3),AF=3﹣a,∵∠AFP=ACD=90°,PAO=CAD,∴△ACD∽△AFP,,即,解得a=﹣6,a+3=﹣3,此時P的坐標(biāo)為(﹣6,﹣3);

綜上所述,點P的坐標(biāo)為((﹣6,﹣3).

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(1)點P表示的意義為:當(dāng)x=3h時
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