Question

如圖，正方形ABCO的邊長為4，D為OC邊的中點，將△DCB沿直線BD對折，C點落在M處，連接BM并延長交OA于點E，OA，OC分別在x軸和y軸的正半軸上．
（1）求線段OE的長；
（2）求經(jīng)過D，E兩點，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線上的對稱軸上是否存在點P，使以P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用已知得出Rt△DOE≌Rt△DME，進(jìn)而利用Rt△CBD∽Rt△ODE得出EO的長即可；
（2）利用對稱軸是直線x=2，以及E，D坐標(biāo)，代入解析式求出即可；
（3）①如圖2，當(dāng)PE∥BD，PE≠BD時，四邊形PEDB是梯形；②當(dāng)PD∥BE，PD≠BE時，四邊形PDEB為梯形；③當(dāng)PB∥DE，PB≠DE時，四邊形PDEB為梯形，分別求出P點坐標(biāo)即可．
解答：（1）解：連接BD，
∵四邊形ABCO為正方形，D為OC的中點，
∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2，∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD與△BMD關(guān)于BD對稱，
∴△BCD≌△BMD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，DM=DC=DO=2，∠CDB=∠MDB，
在Rt△DOE和Rt△DME中
∵，
∴Rt△DOE≌Rt△DME，
∴∠ODE=∠MDE，
∴∠ODE+∠CBD=180°÷2=90°，
而∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ODE=∠CBD，
∴Rt△CBD∽Rt△ODE，
∴，
∴．

（2）由（1）知，D（0，2），E（1，0），
設(shè)過D，E兩點，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，得

解得，
故；

（3）存在點P，使以P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形，分三種情況討論：
①如圖2，當(dāng)PE∥BD，PE≠BD時，四邊形PEDB是梯形．
設(shè)直線PE交y軸于點F，
易證Rt△DEO∽Rt△EOF，
可得OF=，
則F（0，）
過E，F(xiàn)兩點，用待定系數(shù)法可求直線PE 的解析式為：，
當(dāng)，此時P點的坐標(biāo)為（2，），
②如圖3，當(dāng)PD∥BE，PD≠BE時，四邊形PDEB為梯形．
設(shè)直線PD交x軸于點G．
∵PD∥DE，
∴∠GDE=∠DEB，
∵∠DEG=∠DEB，
∴∠GDE=∠DEG，
∴GD=GE，
設(shè)OG=m，在Rt△DGO中，OG²+OD²=DG²，OD=2，OE=1，
易求，
則G（-），
過D，G兩點用待定系數(shù)法可求直線PD 的解析式為：，
當(dāng)，此時點P的坐標(biāo)是（2，）；
③如圖4，當(dāng)PB∥DE，PB≠DE時，四邊形PDEB為梯形．
設(shè)直線PB交x軸于點H，
∵PB∥DE，
∴∠DEB=∠EBH，∠DEO=∠BH0，
∵∠DEO=∠DEB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，
∴BE=5=EH，
∴OH=OE+EH=1+5=6，
∴H（6，0），
過B，H兩點用待定系數(shù)法可求直線PB的解析式為：y=-2x+12，
當(dāng)x=2時，y=8，此時點P的坐標(biāo)是（2，8）．
綜上所述，符合條件的點P有三個，其坐標(biāo)分別為（2，），（2，），（2，8）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次、二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識，利用分類討論數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．