Question

4．如圖，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，S_△PBD=2，OA=OC．求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）令一次函數(shù)解析式中x=0，求出y值，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由PA⊥x軸于點(diǎn)A可得出△COD∽△CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S_△PBD=2，OA=OC，可得出線段BP的長(zhǎng)度，由此得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合反比例系數(shù)k的幾何意義即可得出m的值，再由待定系數(shù)法即可求出k值．

解答 解：（1）令一次函數(shù)y=kx+2中x=0，則y=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．
（2）∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴PA∥y軸，
∴△COD∽△CAP，
∴$\frac{CO}{CA}=\frac{OD}{AP}$，
又∵OA=OC，
∴AP=2OD，
∴BD=OD=2．
∵S_△PBD=$\frac{1}{2}$BD•BP=2，
∴BP=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=2×4=8．
∵點(diǎn)P在一次函數(shù)y=kx+2的圖象上，
∴4=2k+2，解得：k=1．
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+2，反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、三角形的面積公式、相似三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是：（1）令x=0，求出y值；（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合三角形的面積公式以及相似三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．