Question

如圖，在?ABCD中，對角線AC⊥BC，AC=BC=2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)，過點(diǎn)P分別作PM∥AB交BC于M，PN∥AD交DC于N．連接AM．設(shè)AP=x
（1）四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎？請說明理由；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等？

Answer 1

解：（1）四邊形PMCN不可能是菱形．
點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，△PCM始終是一個(gè)直角三角形
斜邊PM大于直角邊MC
∴四邊形PMCN不可能是菱形

（2）∵AC=BC=2，AB∥PM，
∴AP=BM=x，
∴S△ABM=×BM×AC=×x×2=x，
∵由巳知可得四邊形PMCN是平行四邊形，
∴S_{四邊形PMCN}=MC•PC=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4
x₂=4不符合題意，舍去
當(dāng)x=1時(shí)，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等．
分析：（1）由題可知，四邊形PMCN是一個(gè)?，而要想成為一個(gè)菱形，則必須有鄰邊相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM為斜邊＞直角邊MC，因此不會(huì)為菱形；
（2）S_△ABM=x，由巳知可得四邊形PMCN是平行四邊形，則S_{四邊形PMCN}=（2-x）²
解得x₁=1，x₂=4而x₂=4不符合題意，舍去∴當(dāng)x=1時(shí)，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積相等．
點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形和菱形的概念和性質(zhì)，難易程度適中．