【題目】如圖,在⊙O中,AB為直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使CD=CA,且.
(1)求證:是⊙O的切線.
(2)分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線,垂足分別為E、F兩點(diǎn),過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線,垂足為點(diǎn)G.求證:.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1)連接OC,∠CAD=∠D=30°,由OC=OA,進(jìn)而得到∠OCA=∠CAD=30°,由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°,在△OCD中由內(nèi)角和定理可知∠OCD=90°即可證明;
(2)證明AC是∠EAG的角平分線,CB是∠FCG的角平分線,得到CE=CG,CF=CG,再證明△AEC∽△CFB,對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解.
解:(1)連接OC,如下圖所示:
∵CA=CD,且∠D=30°,
∴ ∠CAD=∠D=30°,
∵ OA=OC,
∴ ∠CAD=∠ACO=30°,
∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,
∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,
∴ OC⊥CD,
∴ CD是⊙O的切線.
(2)連接BC,如下圖所示:
∵∠COB=60°,且OC=OB,
∴△OCB為等邊三角形,∠CBG=60°,
又CG⊥AD,∴∠CGB=90°,
∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°,
又∠GCD=60°,
∴CB是∠GCD的角平分線,且BF⊥CD,BG⊥CG,
∴BF=BG,
又BC=BC,
∴△BCG≌△BCF,
∴CF=CG.
∵∠D=30°,AE⊥ED,∠E=90°,
∴∠EAD=60°,
又∠CAD=30°,
∴AC是∠EAG的角平分線,且CE⊥AE,CG⊥AB
∴CE=CG,
∵∠E=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,
∴△AEC∽△CFB,
∴,即,
又,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,足球場(chǎng)上守門員在O處開出一高球,球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上),運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M,距地面約4米高,球落地后又一次彈起,據(jù)試驗(yàn)測(cè)算,足球在草坪上彈起后的拋物線與原來(lái)的拋物線形狀相同,最大高度減少到原來(lái)最大高度的一半.
(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí),該拋物線的表達(dá)式;
(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米?(取)
(3)運(yùn)動(dòng)員乙要搶到足球第二個(gè)落點(diǎn)D,他應(yīng)再向前跑多少米?(取)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年5月14日至15日,“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行,本屆論壇期間,中國(guó)同30多個(gè)國(guó)家簽署經(jīng)貿(mào)合作協(xié)議,某廠準(zhǔn)備生產(chǎn)甲、乙兩種商品共8萬(wàn)件銷往“一帶一路”沿線國(guó)家和地區(qū),已知2件甲種商品與3件乙種商品的銷售收入相同,3件甲種商品比2件乙種商品的銷售收入多1500元.
(1)甲種商品與乙種商品的銷售單價(jià)各多少元?
(2)若甲、乙兩種商品的銷售總收入不低于5400萬(wàn)元,則至少銷售甲種商品多少萬(wàn)件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形,這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.
(1)如圖1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分線,E,F分別是BD,AD上的點(diǎn).求證:四邊形ABEF是鄰余四邊形.
(2)如圖2,在5×4的方格紙中,A,B在格點(diǎn)上,請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF,使AB是鄰余線,E,F在格點(diǎn)上.
(3)如圖3,在(1)的條件下,取EF中點(diǎn)M,連結(jié)DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)N.若N為AC的中點(diǎn),DE=2BE,QB=6,求鄰余線AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:二次函數(shù)y=x2+2mx+2n,交x軸于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))
(1)當(dāng)m=3時(shí),n=4時(shí), ①求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo);②將拋物線向右平移k個(gè)單位后交x軸于M、N(M在N的左側(cè)),若B、M三等分AN,直接寫出k的值;
(2)當(dāng)m=1時(shí),若線段AB上有且只有5個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù),求n的取值范圍;
(3)記A(x1,0)、B(x2,0),當(dāng)m、n都是奇數(shù)時(shí),x1、x2能否是有理數(shù)?若能,請(qǐng)舉例驗(yàn)證,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某學(xué)校落實(shí)立德樹人根本任務(wù),構(gòu)建“五育并舉”教育體系,開設(shè)了“廚藝、園藝、電工、木工、編織”五大類勞動(dòng)課程.為了解七年級(jí)學(xué)生對(duì)每類課程的選擇情況,隨機(jī)抽取了七年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每人只選一類最喜歡的課程),將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
(1)本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 人;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校七年級(jí)共有800名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生選擇“廚藝”勞動(dòng)課程的人數(shù);
(4)七(1)班計(jì)劃在“園藝、電工、木工、編織”四大類勞動(dòng)課程中任選兩類參加學(xué)校期末展示活動(dòng),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好選中“園藝、編織”這兩類勞動(dòng)課程的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓是的外接圓,其切線與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),且.
(1)求的度數(shù);
(2)若,求圓的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的,借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有糟的棒OA、OB組成.兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)固定,OC=CD=DE,點(diǎn)D,E在槽中滑動(dòng),若∠BDE=84°.則∠AOB是______°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解學(xué)生關(guān)注熱點(diǎn)新聞的情況,“兩會(huì)”期間,小明對(duì)班級(jí)同學(xué)一周內(nèi)收看“兩會(huì)”新聞的次數(shù)情況作了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示(其中男生收看次的人數(shù)沒(méi)有標(biāo)出).
根據(jù)上述信息,解答下列各題:
×
(1)該班級(jí)女生人數(shù)是__________,女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的中位數(shù)是________;
(2)對(duì)于某個(gè)群體,我們把一周內(nèi)收看某熱點(diǎn)新聞次數(shù)不低于次的人數(shù)占其所在群體總?cè)藬?shù)的百分比叫做該群體對(duì)某熱點(diǎn)新聞的“關(guān)注指數(shù)”.如果該班級(jí)男生對(duì)“兩會(huì)”新聞的“關(guān)注指數(shù)”比女生低,試求該班級(jí)男生人數(shù);
(3)為進(jìn)一步分析該班級(jí)男、女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的特點(diǎn),小明給出了男生的部分統(tǒng)計(jì)量(如表).
統(tǒng)計(jì)量 | 平均數(shù)(次) | 中位數(shù)(次) | 眾數(shù)(次) | 方差 | … |
該班級(jí)男生 | … |
根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),適當(dāng)計(jì)算女生的有關(guān)統(tǒng)計(jì)量,進(jìn)而比較該班級(jí)男、女生收看“兩會(huì)”新聞次數(shù)的波動(dòng)大小.
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