Question

1．已知：拋物線y=-x²+bx+c的圖象交y軸于C，交x軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（4，5），C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)E在拋物線y=-x²+bx+c上，EF⊥BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)M（m，-m+2）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且ME=MF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E在對(duì)稱軸的左側(cè)，點(diǎn)K在過點(diǎn)D且與y軸平行的直線上，連接EK、FK，當(dāng)∠EKF=45°，求點(diǎn)K的坐標(biāo)；是否存在點(diǎn)M滿足ME=MK？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)M是否在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱性得點(diǎn)C的坐標(biāo)和對(duì)稱軸為x=2，求出b和c，寫出拋物線解析式；
（2）先求直線BC的解析式：y=-x+5，根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M所在的直線y=-x+2與直線BC平行，且過對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)H，利用兩三角形全等列方程組求解；
（3）先判斷出點(diǎn)F既在直線BC上又在拋物線對(duì)稱軸上，從而得出∠EKF=$\frac{1}{2}$∠ENF，判斷出點(diǎn)E，F(xiàn)，K在以點(diǎn)N為圓心3為半徑的圓上，最后進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D為（4，5），且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴C（0，5），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{-1×2}$=2，
∴b=4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．
（2）令y=-x²+4x+5中y=0，則-x²+4x+5=-（x+1）（x-5）=0，
解得：x=-1，或x=5，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5，
∴0=5k+5，解得k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+5，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，-a²+4a+5），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n，-n+5），
如圖1，

分別過E和F向兩坐標(biāo)軸作垂線，垂足分別為Q、N，交拋物線對(duì)稱軸為G，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，
∵點(diǎn)M（m，-m+2）
∴MH∥BC且直線MH的解析式為：y=-x+2
∵M(jìn)E=MF
∴EH=FH
得△FGH≌△EGH
∴EQ=FH，QH=GH
則 $\left\{\begin{array}{l}{2-n=-{a}^{2}+4a+5}\\{-n+5=-a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=6}\\{{n}_{1}=9}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=-1}\\{{n}_{2}=2}\end{array}\right.$．
當(dāng)a=6時(shí)，-a²+4a+5=-7，
∴E（6，-7）
當(dāng)a=-1時(shí)，-a²+4a+5=0
∴E（-1，0）
∴E（6，-7）或E（-1，0），
（3）由（1）有，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸的左側(cè)，
∴E（-1，0），即點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，
由（2）有，F(xiàn)（2，3），
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴NF=NE=3，
∴∠ENF=90°，
∵∠EKF=45°，
∴∠EKF=$\frac{1}{2}$∠ENF，
又∵NF=NE=3，
∴點(diǎn)K必在以點(diǎn)N為圓心，3為半徑圓上，
∴NK=3，
如圖2所示，

∵點(diǎn)K在過點(diǎn)D且與y軸平行的直線上，D（4，5），
∴K點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
連接NK，
在Rt△NGK中，NG=OG-ON=4-2=2，NK=3，
∴GK=$\sqrt{N{K}^{2}-N{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠EKF=45°，
∴K（4，-$\sqrt{5}$），
假設(shè)存在點(diǎn)M滿足ME=MK，
∵M(jìn)E=MF，
∴ME=MF=MK，
∴點(diǎn)M是△EFK的外接圓的圓心，
∴點(diǎn)M和點(diǎn)N重合，
∵點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸x=2上，
∴點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，M（2，0）
即：存在點(diǎn)M滿足ME=MK，并且在拋物線的對(duì)稱軸上．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線和直線的解析式，拋物線對(duì)稱軸的確定，三角形全等的判定和性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的確定等知識(shí)點(diǎn)．解本題的關(guān)鍵用方程的思想求出點(diǎn)的坐標(biāo)．