Question

18．已知拋物線G₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為（2，-3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1）．
（1）求拋物線G₁的解析式；
（2）將拋物線G₁先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G₂，且拋物線G₂與x軸的負(fù)半軸相交于A點(diǎn)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如果直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，點(diǎn)B是（2）中拋物線G₂上的一個(gè)點(diǎn)，且在對(duì)稱軸右側(cè)部分（含頂點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，直線n過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B．問(wèn)：是否存在點(diǎn)B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)為頂點(diǎn)式，再把頂點(diǎn)坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)的點(diǎn)（4，1）代入即可解決，
（2）根據(jù)平移規(guī)則直接寫出拋物線G₂的解析式，令y=0，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，
（3）分為交點(diǎn)咋x軸上方，與下方進(jìn)行分析，根據(jù)相似確定角的大小，進(jìn)一步得到直線n的斜率，求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)A（-3，0），運(yùn)用待定系數(shù)法，確定直線n的解析式，聯(lián)立拋物線G₂，解方程組即可求解．

解答 解：由拋物線G₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為（2，-3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），
可設(shè)拋物線G₁：y=a（x-2）²-3，
把（4，1）代入得：1=4a-3，解得：a=1，
所以拋物線G₁：y=（x-2）²-3=x²-4x+1，
（2）拋物線G₁：y=（x-2）²-3先向左平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到拋物線G₂：y=（x+1）²-4，
令y=0，得：0=（x+1）²-4，解得：x=-3，或x=1（舍去），
所以點(diǎn)A（-3，0）．
（3）
直線m與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為F，E，
當(dāng)直線n與G₂交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，直線n與x軸，y軸的交點(diǎn)為A，D，與拋物線交點(diǎn)B，與直線m交與點(diǎn)C，
當(dāng)直線n與G₂交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，直線n₁與x軸，y軸的交點(diǎn)為A，H，與拋物線交點(diǎn)B₁，與直線m交與點(diǎn)L，
當(dāng)直線n與G₂交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖1：

由題意△CDE∽△CFA，此時(shí)有：∠CDE=∠CFA，
直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，
∴點(diǎn)E（0，3），點(diǎn)F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠CDE=tan∠CFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OD=6，
點(diǎn)D（0，6），
設(shè)直線n：y=mx+n，把D（0，6），點(diǎn)A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線n：y=2x+6，
聯(lián)立直線n和拋物線G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=3，或x=-3（舍去）
此時(shí)y=12，
所以：點(diǎn)B（3，12），
當(dāng)直線n與G₂交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，如圖2：

由題意△HLE∽△FLA，此時(shí)有：∠ELH=∠FLA=90°，
∠EHA=∠LFA，
直線m的解析式為${y_{\;}}=\frac{1}{2}x+3$，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-6，
∴點(diǎn)E（0，3），點(diǎn)F（-6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠EHA=tan∠LFA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA=3，
∴OH=6，
點(diǎn)H（0，-6），
設(shè)直線n：y=mx+n，把D（0，-6），點(diǎn)A（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6=n}\\{0=-3m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直線n：y=-2x-6，
聯(lián)立直線n和拋物線G₂得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-6}\\{y=（x+1）^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得：x=-1，或x=-3（舍去）
此時(shí)y=-4，
所以：點(diǎn)B₁（-1，-4），
綜上所述：存在點(diǎn)B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，12）和（-1，-4）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會(huì)根據(jù)相似判斷出相等的對(duì)應(yīng)角，并會(huì)根據(jù)三角函數(shù)求出線段的值進(jìn)一步表示點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．