Question

如圖，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB與⊙O相切于點C，則圖中陰影部分的面積為

 

．（結(jié)果保留π）

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),含30度角的直角三角形,扇形面積的計算

專題：幾何圖形問題

分析：連接OC，由AB為圓的切線，得到OC垂直于AB，再由OA=OB，利用三線合一得到C為AB中點，且OC為角平分線，在直角三角形AOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OC的長，利用勾股定理求出AC的長，進(jìn)而確定出AB的長，求出∠AOB度數(shù)，陰影部分面積=三角形AOB面積-扇形面積，求出即可．

解答：解：連接OC，
∵AB與圓O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，
∴OC=

1

2

OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC=

OA2-OC2

=2

3

，即AB=2AC=4

3

，
則S_陰影=S_△AOB-S_扇形=

1

2

×4

3

×2-

120π×22

360

=4

3

-

4π

3

．
故答案為：4

3

-

4π

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及扇形面積計算，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．