Question

已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s），解答下列各問題：
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（3）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，求出AD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可．
（3）本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數(shù)關(guān)系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個(gè)關(guān)于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC，則AD=

1

2

×BC×AB•sin60°=

1

2

×3×3×

3

2

=

9 3

4

；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形，
則AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=（3-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ=

1

2

BP，
即t=

1

2

（3-t），t=1（秒），
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=

1

2

BQ，
3-t=

1

2

t，t=2（秒），
答：當(dāng)t=1秒或t=2秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．

（3）過P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=

PM

PB

，
∴PM=PB•sin∠B=

3

2

（3-t），
∴S_△PBQ=

1

2

BQ•PM=

1

2

•t•

3

2

（3-t），
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=

1

2

×3²×

3

2

-

1

2

×t×

3

2

（3-t）
=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
∴y與t的關(guān)系式為y=

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

，
假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的

2

3

，
則S_{四邊形APQC}=

2

3

S_△ABC，
∴

3

4

t²-

3 3

4

t+

9 3

4

=

2

3

×

1

2

×3²×

3

2

，
∴t²-3t+3=0，
∵（-3）²-4×1×3＜0，
∴方程無解，
∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．