Question

如圖，正五邊形ABCDE中，對角線AD、CE相交于F，求證：
（1）△AEF是等腰三角形；
（2）四邊形ABCE是等腰梯形；
（3）四邊形ABCF是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠EDC=∠DCB=∠ABC=108°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠EAD=∠ADE=∠ECD=∠CED=36°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AEC的度數(shù)，故可得出AE=AF，由此可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出其內(nèi)角的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCE的度數(shù)，∠BCE的度數(shù)，由平行線的判定定理得出AB∥CE，再由AE=BC即可得出結(jié)論；
（3）由（1）知，AE=AF，AE=AB，故AB=AF，由（2）知，AB∥CE，∠BCE=∠AFE=72°，所以BC∥AD，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵五邊形ABCDE為正五邊形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠EDC=∠DCB=∠ABC=108°．
∴∠EAD=∠ADE=∠ECD=∠CED=

180°-108°

2

=36°，
∴∠AEC=108°-36°=72°，
∴∠AFE=180°-72°-36°=72°，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形；

（2）∵由（1）知，∠ECD=36°，
∴∠BCE=108°-36°=72°．
∵∠B=108°，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴AB∥CE．
∵AE=BC，
∴四邊形ABCE是等腰梯形；

（3）∵由（1）知，AE=AF，AE=AB，
∴AB=AF．
∵由（2）知，AB∥CE，∠BCE=∠AFE=72°，
∴BC∥AD，
∴四邊形ABCF是菱形．

點(diǎn)評：本題考查的是正多邊形和圓，熟知正五邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．