Question

如圖，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)C在x軸上，AB交y軸于點(diǎn)H，AC交y軸于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位長/秒的速度沿折線A-B-C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C終止．已知點(diǎn)A（-3，4），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△PMB的面積為S（平方單位）．
（1）求點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）求S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0）．

（2）設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：
，
解得：
∴直線AC的解析式為 y=-x+，
當(dāng)x=0時(shí)，y=2.5
∴M（0，2.5）．

（3）過M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵M(jìn)O⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，P在AB上，MH=4-2.5=，
S=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，
∴S=-t+，
當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，
∴S=t-，
答：S與t的函數(shù)關(guān)系式是 S=-t+（0≤t＜2.5）或 S=t-（2.5＜t≤5）．

（4）當(dāng)P在AB上時(shí)，高M(jìn)H一定，只有BP取最大值即可，即P與A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上時(shí)，P與C重合時(shí)，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．
分析：（1）根據(jù)A的坐標(biāo)求出AH、OH，根據(jù)勾股定理求出AO，再利用菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程組，求出即可；
（3）過M作MN⊥BC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MN，P在AB上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；P在BC上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（4）求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比較即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)勾股定理，三角形的面積，菱形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，解二元一次方程組，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．