Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應(yīng)點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)一點，當(dāng)以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣8，D（1，﹣9）；（2）P（ ， ）；（3）點M的坐標為（﹣ ， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解析】試題分析：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式可求得a、c的值，從而得到拋物線的解析式，最后利用配方法可求得點D的坐標；

（2）將y=0代入拋物線的解析式求得點B的坐標，然后由拋物線的對稱軸方程可求得點E的坐標，由折疊的性質(zhì)可求得∠BEP=45°，設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入可求得b的值，從而可求得直線EP的解析式，最后將直線EP的解析式和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組求解即可；

（3）先求得直線CD的解析式，然后再求得直線CB的解析式為y=k2x﹣8，從而可求得點F的坐標，設(shè)點M的坐標為（a，﹣a﹣8），然后分為MF=MB、FM=FB兩種情況列方程求解即可．

試題解析：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得： ，解得：a=1，c=﹣8，∴拋物線的解析式為．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）；

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0），

∵y=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為x=1，∴E（1，0），

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應(yīng)點B'落在拋物線的對稱軸上，∴EP為∠BEF的角平分線，∴∠BEP=45°，

設(shè)直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，

∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得： ，解得：x=或x=，

點P在第四象限，∴x=，∴y=，∴P（， ）；

（3）設(shè)CD的解析式為y=kx﹣8，將點D的坐標代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8，

設(shè)直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點B的坐標代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2，

∴直線BC的解析式為y=2x﹣8，

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6），

設(shè)點M的坐標為（a，﹣a﹣8），

當(dāng)MF=MB時，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣，∴點M的坐標為（﹣， ）；

當(dāng)FM=FB時，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5，

∴點M的坐標為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）；

綜上所述，點M的坐標為（﹣， ）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．