Question

四邊形ABCD中，E是邊AB上一點（不與點A，B重合），連接ED，EC，則將四

邊形ABCD分成三個三角形．若其中有兩個三角形相似，則把E叫做四邊形ABCD

的邊AB上的相似點；若這三個三角形都相似，則把E叫做四邊形ABCD的邊AB上

的黃金相似點．

（1）如圖①，∠A=∠B=∠DEC=60°，試判斷點E是否為四邊形ABCD的邊AB上的

相似點？并說明理由；

（2）如圖②，在（1）的條件下，若E是AB的中點，

①判斷點E是否為四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點？并說明理由；

②若AD·BC=18，求AB的長；

（3）在矩形ABCD中，AB=10，BC=3，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格

中每個小正方形的邊長為1）的格點上，試在圖③中畫出矩形ABCD的邊AB上

的一個黃金相似點E．

                                                                                                         

Answer 1

（1）點E是為四邊形ABCD的邊AB上的相似點…

理由：∵∠A=∠B=∠DEC=60°

∴∠ADE+∠AED=120°，∠BEC+∠AED=120°

∴∠ADE=∠BEC                    

∴△ADE～△BEC                  

∴點E是否為四邊形ABCD的邊AB上的相似點

（2）①點E是為四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點

 理由：由（1）可知：△ADE～△BEC

     ∴

  ∵AE=BE     ∴     

∵∠B=∠DEC=60°     ∴△DEC～△BEC

∴△ADE～△BEC～△DEC      

∴點E是為四邊形ABCD的邊AB上的黃金相似點

②∵△ADE～△BEC

∴    ∴AD·BC=AE·BE＝18

∵AE＝BE　　　∴AE＝  　

（3）                         

（只要畫出一個即可）