Question

一個(gè)正整數(shù)a恰好等于另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱(chēng)正整數(shù)a為完全平方數(shù)．如64=8²，64就是一個(gè)完全平方數(shù)；若a=2992²+2992²×2993²+2993²．求證：a是一個(gè)完全平方數(shù)．

Answer 1

證明：令2992=m，則2293=m+1，
于是a=m²+m²•（m+1）²+（m+1）²，
=m⁴+2m³+3m²+2m+1，
=m⁴+2m³+2m²+m²+2m+1，
=（m²）²+2•m²•（m+1）+（m+1）²，
=（m²+m+1）²，
所以是a一個(gè)完全平方數(shù)．
分析：考慮到2992²、2993²都是數(shù)值較大的數(shù)，計(jì)算起來(lái)很不方便，因此可采用換元法，設(shè)x=2992，則2993=2992+1=x+1，然后再根據(jù)所設(shè)及題意對(duì)原式進(jìn)行變形配成完全平方式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方式，在計(jì)算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡(jiǎn)，起到簡(jiǎn)便計(jì)算的作用．