Question

一個正整數(shù)a恰好等于另一個正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a為完全平方數(shù)．如64=8²，64就是一個完全平方數(shù)；若a=2992²+2992²×2993²+2993²．求證：a是一個完全平方數(shù)．

Answer 1

證明：令2992=m，則2293=m+1，
于是a=m²+m²•（m+1）²+（m+1）²，
=m⁴+2m³+3m²+2m+1，
=m⁴+2m³+2m²+m²+2m+1，
=（m²）²+2•m²•（m+1）+（m+1）²，
=（m²+m+1）²，
所以是a一個完全平方數(shù)．
分析：考慮到2992²、2993²都是數(shù)值較大的數(shù)，計算起來很不方便，因此可采用換元法，設(shè)x=2992，則2993=2992+1=x+1，然后再根據(jù)所設(shè)及題意對原式進(jìn)行變形配成完全平方式．
點(diǎn)評：本題考查了完全平方式，在計算中巧用換元法靈活應(yīng)用公式可化繁為簡，起到簡便計算的作用．