Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，對稱軸與x軸交于點H.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式

（2）直線與y軸交于點E，與拋物線交于點P,Q（點P在y軸左側(cè)，點Q 在y軸右側(cè)），連接CP，CQ，若的面積為，求點P，Q的坐標.

（3）在（2）的條件下，連接AC交PQ于G，在對稱軸上是否存在一點K，連接GK，將線段GK繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點K恰好落在拋物線上，若存在，請直接寫出點K的坐標不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用對稱軸和A點坐標可得出，再設(shè)，代入C點坐標，求出a的值，即可得到拋物線解析式；

（2）求C點和E點坐標可得出CE的長，再聯(lián)立直線與拋物線解析式，得到，設(shè)點P,Q的橫坐標分別為，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)的面積可求出k的值，將k的值代入方程求出，即可得到P、Q的坐標；

（3）先求直線AC解析式，再聯(lián)立直線PQ與直線AC，求出交點G的坐標，設(shè)，,過G作MN∥y軸，過K作KN⊥MN于N，過K'作K'M⊥MN于M，然后證明△MGK'≌△NKG，推出MK'=NG，MG=NK，建立方程求出的坐標，再代入拋物線解析式求出m的值，即可得到K的坐標.

解：（1）∵拋物線對稱軸，點

∴

設(shè)拋物線的解析式為

將點代入解析式得：，

解得，

∴拋物線的解析式為,即

（2）當x=0時，

∴C點坐標為(0,2)，OC=2

直線與y軸交于點E，

當x=0時，

∴點，OE=1

∴

聯(lián)立和得：

整理得：

設(shè)點P,Q的橫坐標分別為

則是方程的兩個根,

∴

∴

∴的面積

解得（舍）

將k=3代入方程得：

解得：

∴

∴

（3）存在，

設(shè)AC直線解析式為，

代入A(4,0)，C(0,2)得

，解得，

∴AC直線解析式為

聯(lián)立直線PQ與直線AC得

，解得

∴

設(shè)，,

如圖，過G作MN∥y軸，過K作KN⊥MN于N，過K'作K'M⊥MN于M，

∵∠KGK'=90°，

∴∠MGK'+∠NGK=90°

又∵∠NKG+∠NGK=90°

∴∠MGK'=∠NKG

在△MGK'和△NKG中，

∵∠M=∠N=90°，∠MGK'=∠NKG，GK'=GK

∴△MGK'≌△NKG（AAS）

∴MK'=NG，MG=NK

∴，解得

即K'坐標為(,)

代入得：

解得：

∴K的坐標為或