Question

【題目】如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，一條拋物找正好經(jīng)過點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D，分別過點(diǎn)P，點(diǎn)D作x軸的垂線，交x軸于R，S兩點(diǎn)，問：四邊形PRSD的周長是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，把點(diǎn)B向下平移兩個(gè)單位得到點(diǎn)T，過O，T兩點(diǎn)作⊙Q交x軸，y軸于E，F兩點(diǎn)，若M、N分別為弧、的中點(diǎn)，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足為G、H，試求MG+NH的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）當(dāng)a=1時(shí)，矩形PEFM的周長有最大值10；（3）MG+NH=4．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a2+4a），根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出RS，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算；
（3）作TK⊥x軸于K，TJ⊥y軸于J，連接TF，TE，延長NH交⊙Q于R，證明△ETK≌△FTJ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EK=FJ，得到OE+OF=8，根據(jù)垂徑定理得到NH=NR=OF，計(jì)算即可．

解：（1）設(shè)y=ax2+bx+c，

∵OA=4，AB=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-2），

△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），

則

解得．

所以拋物線的解析式為y=-x2+4x；

（2）有最大值．

理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a2+4a），PR=DS=-a2+4a，

由拋物線的對(duì)稱性知OR=AS，RS=PD=4-2a，

矩形PRSD的周長=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，

所以當(dāng)a=1時(shí)，矩形PEFM的周長有最大值10；

（3）作TK⊥x軸于K，TJ⊥y軸于J，連接TF，TE，延長NH交⊙Q于R，

由題意得，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（4，-4，），即TJ=TK=4，

∴點(diǎn)T在∠EOF的平分線上，

∴=

∴TE=TF，

在Rt△TKE和Rt△TJF中，

，

∴△ETK≌△FTJ（HL），

∴EK=FJ，∠EOF=∠KTJ=90°，

∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8，

∴EF為⊙Q的直徑，

∴=，

∵N為的中點(diǎn)，

∴=，

∴=，

∴NR=OF，

∴NH=NR=OF，

同理MG=OE，

∴MG+NH=（OE+OF）=×8=4．