【題目】如圖,Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中,直角邊OA與x軸重合,∠OAB=90°,OA=4,AB=2,把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置,一條拋物找正好經(jīng)過點(diǎn)O,C,A三點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)D,分別過點(diǎn)P,點(diǎn)D作x軸的垂線,交x軸于R,S兩點(diǎn),問:四邊形PRSD的周長是否有最大值?如果有,請(qǐng)求出最值,并寫出解答過程;如果沒有,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖2,把點(diǎn)B向下平移兩個(gè)單位得到點(diǎn)T,過O,T兩點(diǎn)作⊙Q交x軸,y軸于E,F兩點(diǎn),若M、N分別為弧、的中點(diǎn),作MG⊥EF,NH⊥EF,垂足為G、H,試求MG+NH的值.
【答案】(1)y=-x2+4x;(2)當(dāng)a=1時(shí),矩形PEFM的周長有最大值10;(3)MG+NH=4.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a,-a2+4a),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出RS,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算;
(3)作TK⊥x軸于K,TJ⊥y軸于J,連接TF,TE,延長NH交⊙Q于R,證明△ETK≌△FTJ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EK=FJ,得到OE+OF=8,根據(jù)垂徑定理得到NH=NR=OF,計(jì)算即可.
解:(1)設(shè)y=ax2+bx+c,
∵OA=4,AB=2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,-2),
△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),
則
解得.
所以拋物線的解析式為y=-x2+4x;
(2)有最大值.
理由如下:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a,-a2+4a),PR=DS=-a2+4a,
由拋物線的對(duì)稱性知OR=AS,RS=PD=4-2a,
矩形PRSD的周長=2[4-2a+(-a2+4a)]=-2(a-1)2+10,
所以當(dāng)a=1時(shí),矩形PEFM的周長有最大值10;
(3)作TK⊥x軸于K,TJ⊥y軸于J,連接TF,TE,延長NH交⊙Q于R,
由題意得,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(4,-4,),即TJ=TK=4,
∴點(diǎn)T在∠EOF的平分線上,
∴=
∴TE=TF,
在Rt△TKE和Rt△TJF中,
,
∴△ETK≌△FTJ(HL),
∴EK=FJ,∠EOF=∠KTJ=90°,
∴OE+OF=OK-EK+OJ+FJ=OJ+OK=8,
∴EF為⊙Q的直徑,
∴=,
∵N為的中點(diǎn),
∴=,
∴=,
∴NR=OF,
∴NH=NR=OF,
同理MG=OE,
∴MG+NH=(OE+OF)=×8=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題解決)
一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度數(shù)嗎?
小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP′A,連接PP′,求出∠APB的度數(shù);
思路二:將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CP'B,連接PP′,求出∠APB的度數(shù).
請(qǐng)參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過程.
(類比探究)
如圖2,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度數(shù).
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD與BC相交于點(diǎn)E,AE=ED,延長DB到點(diǎn)F,使FB=BD,連接AF.
(1)證明:△BDE∽△FDA;
(2)試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系,并給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)將△ABC向下平移5個(gè)單位后得到△A1B1C1,請(qǐng)畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,請(qǐng)畫出△A2B2C2;
(3)判斷以O,A1,B為頂點(diǎn)的三角形的形狀.(無須說明理由)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知線段、相交于點(diǎn)O,連接、.
(1)求證:;
(2)如圖2,與的平分線、相交于點(diǎn)P,求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,屬于假命題的是( 。
A. 有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形一定相似
B. 對(duì)角線相等的菱形是正方形
C. 拋物線y=x2﹣20x+17的開口向上
D. 在一次拋擲圖釘?shù)脑囼?yàn)中,若釘尖朝上的頻率為,釘尖朝下的概率為
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1,和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.
(1)畫出對(duì)稱中心,并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______.
(2)畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的;連接,可求得線段長為______.
(3)畫出與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的;連接、,則四邊形是______;(填屬于哪一種特殊四邊形),它的面積是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知AB=8cm,小紅在作線段AB的垂直平分線時(shí)操作如下:分別以A和B為圓心,5cm的長為半徑畫弧,兩弧相交于C、D,則直線CD即為所求,根據(jù)此種作圖方法所得到的四邊形ADBC的面積是( 。
A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.48cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若干個(gè)全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個(gè)正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個(gè)數(shù)為( 。
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
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