Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)A（m，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿(mǎn)足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．

（1）求：①m，n的值；②S△ABO的值；

（2）D為OA延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線(xiàn)EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（3）如圖2，點(diǎn)E為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線(xiàn)AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段OA上一動(dòng)點(diǎn)，試求OM+MN的最小值（圖1與圖2中點(diǎn)A的坐標(biāo)相同）．

Answer 1

【答案】（1）①m＝﹣6，n＝6，②18；（2）F（0，﹣6）；（3）OM+MN的最小值為3．

【解析】

（1）①利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

②先確定出OA＝OB＝6，從而求得△ABO的面積．

（2）先判斷出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，進(jìn)而判斷出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法得出直線(xiàn)EA解析式．

（3）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，連接MN，此時(shí)OM+MN的值最�。�

（1）①∵（m+n）2+|n﹣6|＝0，

又∵（m+n）2≥0，|n﹣6|≥0．

∴m+n＝0，n＝6，

∴m＝﹣6，n＝6．

②∵直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0），與y軸交于B（0，6）．

∴OA＝6，OB＝6，

∴S△ABO＝OAOB＝×6×6＝18；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于M，

∴∠MDE+∠DEM＝90°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE＝DB，∠BDE＝90°，

∴∠MDE+∠BDO＝90°，

∴∠DEM＝∠BDO，

在△DEM和△BDO中，

，

∴△DEM≌△BDO（AAS），

∴EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，

∴AM＝DM+AD＝6+AD，

EM＝OD＝OA+AD＝6+AD，

∴EM＝AM，

∴∠MAE＝45°＝∠OAF，

∴OA＝OF，

∴F（0，﹣6）．

（3）如圖2中，

過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，連接MN，此時(shí)OM+MN的值最�。�

∵∠MAG＝∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，

∴MG＝MN，

∴OM+MN＝OM+MG＝OG，

在Rt△OAG中，∠OAE＝30°，OA＝6，

∴OG＝3，

∴OM+MN的最小值為3．