Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A,D不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊AB交于點(diǎn)E．

（1）求證：

（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在這樣的點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的2倍；DP的長(zhǎng)為8.

【解析】

（1）首先根據(jù)余角的等量轉(zhuǎn)化，得出∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似，即可判定；

（2）首先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，然后根據(jù)相似的性質(zhì)得出CD：AP=PD：AE=2，即可得解.

（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，

∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP．

∴（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似）

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，

∵Rt△AEP∽Rt△DPC，

∴CD：AP=PD：AE=2．

又∵CD=AB=4，

∴AP=2，PD=8，

∴存在這樣的P點(diǎn)，且DP長(zhǎng)為8．