Question

【題目】若表示一個關于的多項式，除以整式，所得的商式和余式均為同一個多項式中的系數(shù)均為整數(shù)，則余式_____________．

Answer 1

【答案】x+1

【解析】

由題意得，f(x)=g(x)h(x)+h(x)=h(x)[g(x)+1]，又因為=(x+1)(x2+x+2) ，這兩個式子比較討論即可得到答案.

解：由題意得，f(x)=g(x)h(x)+h(x)=h(x)[g(x)+1] ①

又∵=(x+1)(x2+x+2) ②

比較①、②可知，有下述兩種情況：

（1）h(x)=x+1,g(x)+1=x2+x+2,即h(x)=x+1,g(x)=x2+x+1；

（2）h(x)= x2+x+2，g(x)+1=x+1,即h(x)= x2+x+2，g(x)=x，這里余式h(x)的次數(shù)大于除式g(x)的次數(shù)，故不合題意，

∴只有（1）成立，

故答案為x+1.