Question

【題目】已知OABC的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=2和x=4上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2分別與x軸和OC邊交于D、E，直線x=4分別與x軸和AB邊的交于點(diǎn)F、G．

（1）如圖，在點(diǎn)A、C移動(dòng)的過(guò)程中，若點(diǎn)B在x軸上，
①直線 AC是否會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②OABC是否可以形成矩形？如果可以，請(qǐng)求出矩形OABC的面積；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③四邊形AECG是否可以形成菱形？如果可以，請(qǐng)求出菱形AECG的面積；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在點(diǎn)A、C移動(dòng)的過(guò)程中，若點(diǎn)B不在x軸上，且當(dāng)OABC為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①是，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，0）．理由如下：

如圖1中，連接AC交OB于K．

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OK=KB，BC∥OA，BC=OA，

∴∠CBF=∠AOD，

在△DOA和△FBC中，

，

∴△DOA≌△FBC，

∴OD=FB=2，

∴OB=6，

∵OK=KB，

∴OK=3，

∴K（3，0），

∴直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)K（3，0）．

②可以．利用如下：

當(dāng)∠OCB=90°時(shí)，四邊形OABC是矩形，

由（1）可知△DOA≌△FBC，

∴OD=BF=2，

∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，

∴∠OCF=∠CBF，

∵∠CFO=∠CFB，

∴△CFO∽△BFC，

∴ = ，

∴ = ，

∴CF=2 ，

∴S矩形OABC=2S△OBC=2× × =12 ．

③可以．理由如下：

如圖3中，易知當(dāng)OE=EC=AE時(shí)，四邊形AECG是菱形．

由（1）可知，△DOA≌△FBC，

∴AD=CF，

∵DE= CF，設(shè)DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，

在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴9x2=x2+4，

∴x= ，

∴AE= ，

∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3

（2）

解：如圖4中，

當(dāng)四邊形OABC是正方形時(shí)，易證△DOA≌△FCO，

∴OD=CF=2，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2），

根據(jù)對(duì)稱性C′（4，﹣2）時(shí)，也滿足條件．

綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，2）或（4，﹣2）

【解析】（1）①是，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，0）．如圖1中，連接AC交OB于K，只要證明OD=FB=2，推出OB=6，即可解決問(wèn)題．②當(dāng)∠OCB=90°時(shí)，四邊形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得 = ，由此即可解決問(wèn)題．③可以．如圖3中，易知當(dāng)OE=EC=AE時(shí)，四邊形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= CF，設(shè)DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根據(jù)OE2=OD2+DE2 ， 列出方程即可解決問(wèn)題．（2）如圖4中，當(dāng)四邊形OABC是正方形時(shí)，易證△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2），根據(jù)對(duì)稱性C′（4，﹣2）時(shí)，也滿足條件．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解菱形的性質(zhì)(菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半)，還要掌握矩形的性質(zhì)(矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．