Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)定點(diǎn)坐標(biāo)為c（4，-$\sqrt{3}$），且在x軸上截得的線段AB為6．
（1）求A，B坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)p在y上，且使得△PAC周長(zhǎng)最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，A，B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與三角形ABC相似？若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出拋物線的對(duì)稱軸，結(jié)合AB=6，可得出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)處拋物線的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出拋物線的解析式；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，可得 A′（-1.0），連接A′C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn)P，此時(shí)PC+PA的值最小，求出直線A′C的解析式，繼而可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）首先判斷出△ABC是等腰三角形，且頂角為120°，然后討論，①AB=AQ₁，②AB=BQ₂，③Q₃A=Q₃B，依次求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，-$\sqrt{3}$），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=4．
∵拋物線在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6，
∴A（1，0 ），B（7，0 ），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4）²-$\sqrt{3}$，
代入點(diǎn)A坐標(biāo)可得：0=a（1-4）²-$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）²-$\sqrt{3}$．

（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，可得 A′（-1.0），
連接A′C交y軸于一點(diǎn)即點(diǎn)P，此時(shí)PC+PA的值最小，
∵AC是定值，
∴此時(shí)△PAC周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線CA′的解析式為y=kx+b（k≠0），
代入點(diǎn)A′、點(diǎn)C的坐標(biāo)可得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{5}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，
則直線CA′的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ 0，-$\frac{\sqrt{3}}{5}$）．

（3）由（1）可知，C（4，-$\sqrt{3}$），設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，則AD=3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AQ₁=6，過(guò)Q₁作E Q₁⊥x軸于E，
由△ABC∽△BA Q₁得∠BA Q₁=120°，
則∠EA Q₁=60°．
∴Q₁E=3$\sqrt{3}$，AE=3．
∵A（1，0 ），
∴OE=2．
∵點(diǎn)Q在x軸上方，
∴點(diǎn)Q₁（-2，3$\sqrt{3}$），
②如果AB=BQ₂，由對(duì)稱性可知Q₂（10，3$\sqrt{3}$），
③如果Q₃A=Q₃B，那么點(diǎn)Q必在線段AB的中垂線即拋物線的對(duì)稱軸上，在x軸上方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)Q．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)Q₁ （-2，3$\sqrt{3}$）與Q₂ （10，3$\sqrt{3}$）都在拋物線上．
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3$\sqrt{3}$）或（10，3$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及相似三角形的判定，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，像此類綜合題，要求同學(xué)們一步一步的來(lái)，找準(zhǔn)突破口，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．