Question

在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AD=6，且AD⊥BD，點E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的動點，且AE=CF．
（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）當(dāng)AE=______時，四邊形DEBF是矩形；當(dāng)AE=______時，四邊形DEBF是菱形．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．

（2）解：當(dāng)AE=3時，四邊形DEBF是矩形；當(dāng)AE=6時，四邊形DEBF是菱形，
理由是：過D作DE⊥AB于E，
則∠ADE=30°，
∴AE=AB=3，
即當(dāng)AE=3時，∠DEB=∠DEA=90°，
即平行四邊形BEDF是矩形；
∵AD=AE=6，∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴DE=AD=6，
∵AD⊥BD，AD=6，∠A=60°，
∴∠ABD=30°，
∴AB=2AD=12，
∴BE=12-6=6=DE，
∵四邊形BEDF是平行四邊形，
∴四邊形BEDF是菱形，
即當(dāng)AE=3時，四邊形DEBF是矩形；當(dāng)AE=6時，四邊形DEBF是菱形，
故答案為：3，6．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出AB∥CD，AB=CD，求出BE=DF，BE∥DF，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；
（2）過D作DE⊥AB于E，求出AE=3，根據(jù)矩形的判定推出即可；求出等邊三角形ADE，求出DE=AD=6，求出AB=12，求出BE=DE=6，根據(jù)菱形的判定推出即可．
點評：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．