Question

7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC，
（1）求證：AD垂直平分CE；
（2）當∠ACB=2∠B時，求證：BE=CD．

Answer 1

分析 （1）通過給定條件可得知△AOE≌△AOC，由全等三角形的性質(zhì)可得知邊角關(guān)系，從而得以解決；
（2）由三角形全等可得相對應(yīng)兩邊相等，再借用三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和，可尋找到邊的關(guān)系，從而問題得以解決．

解答 （1）證明：令AD與CE的交點為O，如圖
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO=∠CAO，
在△EAO和△CAO中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOC（SAS），
∴∠AOE=∠AOC，EO=CO，
∴AD垂直平分CE．
證畢．
（2）在△AED和△ACE中，
有$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAO=∠CAO}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=ED，
又∵∠AED=∠B+∠EDB，且∠ACB=2∠B，∠ACD=∠ACB（同角），
∴∠EBD=∠EBD，
∴BE=ED=CD，
證畢．

點評 本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的利用全等三角形的性質(zhì)來解決求等邊等角的問題．