Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點(diǎn)C；

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣

（2）

解：如答圖所示，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥x軸于E，AA′與OC交于點(diǎn)D，

∵點(diǎn)C在直線y=2x上，

∴C（5，10）

∵點(diǎn)A和A′關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，

∴OC⊥AA′，A′D=AD．

∵OA=5，AC=10，

∴OC= = = ．

∵S△OAC= OCAD= OAAC，

∴AD= ．

∴AA′= ，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，

∵∠A′AE+∠A′AC=90°，

∠ACD+∠A′AC=90°，

∴∠A′AE=∠ACD．

又∵∠A′EA=∠OAC=90°，

∴Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC．

∴ ，

即 ．

∴A′E=4，AE=8．

∴OE=AE﹣OA=3．

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣3，4），

當(dāng)x=﹣3時(shí)，

y= ×（﹣3）2+3﹣ =4．

所以，點(diǎn)A′在該拋物線上

（3）

解：存在．

理由：設(shè)直線CA′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得

∴直線CA′的解析式為y= x+

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， x2﹣x﹣ ），則點(diǎn)M為（x， x+ ）．

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形，只需PM=AC．又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，

∴（ x+ ）﹣（ x2﹣x﹣ ）=10．

解得x1=2，x2=5（不合題意，舍去）

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣ ．

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（2，﹣ ）時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形

【解析】方法一：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，即可判定點(diǎn)A′是否在拋物線上．本問(wèn)關(guān)鍵在于求出A′的坐標(biāo)．如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC，利用相似關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理，求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（3）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．解題要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解．如答圖所示，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長(zhǎng)度，然后列方程求解．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�