Question

4．如圖，△ABC和△CDE均為等邊三角形，且AB=DE，AC⊥CD，連接AE，BD，分別交CD，AC于點(diǎn)G，連接FG，BE．下列結(jié)論：①AE=BD=BE；②BC平分∠DBE；③直線(xiàn)EC⊥AB；④FG∥BE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DCE=60°，由周角的定義得到∠BCE=150°，推出△ACE≌△BCD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD=BE，故①正確，∠DBC=∠EBC，故②正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到直線(xiàn)EC⊥AB；故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=EG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到HF=HG，推出$\frac{HF}{FB}=\frac{HG}{HE}$，于是得到FG∥BE，故④正確．

解答 解：∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，且AB=DE，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠BCD=150°，
∴∠BCE=150°，
在△ACE與△BCD與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC=CE}\\{∠ACE=∠BCD=∠BCE}\\{CE=BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD≌△BCE，
∴AE=BD=BE，故①正確，∠DBC=∠EBC，故②正確；
∴∠BEC=∠AEC，∵BE=AE，
∴直線(xiàn)EC⊥AB；故③正確；
在△BCF與△ECG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCF=∠ECG}\\{∠CBF=∠CEG}\\{BC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ECG，
∴BF=EG，
設(shè)AE，BD交于H，
∵∠FBC=∠GEC，∠CBE=∠CEB，
∴∠HBE=∠HEB，
∴BH=EH，
∴HF=HG，
∴$\frac{HF}{FB}=\frac{HG}{HE}$，
∴FG∥BE，故④正確，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．