Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)O在AB上，⊙O經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若AB=9，sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由圓的性質(zhì)得OB=OD，再由角平分線的性質(zhì)得出OD∥BC，由垂直的定義得BC⊥AC，即可得出AC是⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得出sin∠BAC=$\frac{2}{3}$，再由相似的定義得出△AOD∽△ABC，即可得出半徑，過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則OF∥AC，由垂徑定理得BE即可．

解答 證明：（1）如圖，連接OD，
∵⊙O經(jīng)過B，D兩點(diǎn)，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠OBD=∠CBD．
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD⊥AC，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，在Et△ABC中，∠ACB=90°，
∵AB=9，sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$×9=6
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OA}{AB}$，即$\frac{R}{6}$=$\frac{9-R}{9}$，
解得：R=3.6
過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則OF∥AC，
∴∠BOF=∠BAC，
∴$\frac{BF}{OB}$=sin∠BOF=$\frac{2}{3}$，
∴BF=$\frac{2}{3}$×3.6=2.4
∴由垂徑定理得：BE=2BF=2×2.4=4.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合性的題目，把切線的判定、垂徑定理以及三角函數(shù)的定義相結(jié)合，是中考的常見題型．