Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F，H是邊BC的中點，連接DH與BE相交于點G．
（1）求證：BF=AC；
（2）若CE=3，求GE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出BD=DC，∠ADC=∠BDF，∠ACD=∠DBF，證出△BDF≌△CDA即可；
（2）求出BG=GC，求出∠EGC=?ECG，推出CE=GE即可．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CEF中，
∵∠BDC=∠BEC=90°，∠DFB=∠EFC，
∴∠DBF=∠ECF，
在△BDF和△CDA中

∠BDF=∠CDA BD=DC ∠DBF=∠ECF

∴△BDF≌△CDA，
∴BF=AC；

（2）解：連接CG，
∵BD=DC，H為BC中點，
∴DH為BC垂直平分線，
∴BG=CG，
∴∠ABE=∠CBE=∠GCB，
∵∠ABC=45°，∠ABE=∠CBE，
∴∠EGC=∠CBE+∠GCB=45°，
∵∠GEC=90°，
∴∠ECG=45°=∠EGC，
∴GE=CE=3．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力，有一定的難度．