Question

3．閱讀下面材料，并解答下列各題：
在形如a^b=N的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運(yùn)算；
②已知b和N，求a，這是開方運(yùn)算；
現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知a和N，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對數(shù)運(yùn)算．
定義：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），則b叫做以a為底N的對數(shù)，記著b=log_aN．
例如：因為2³=8，所以log₂8=3；因為2^-3=$\frac{1}{8}$，所以log₂$\frac{1}{8}$=-3．
（1）根據(jù)定義計算：
①log₃81=4；②log₃3=1；③log₃1=0；
④如果log_x16=4，那么x=2．
（2）設(shè)a^x=M，a^y=N，則log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴l(xiāng)og_aMN=x+y，
即log_aMN=log_aM+log_aN
這是對數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)之一，進(jìn)一步，我們還可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均為正數(shù)，a＞0，a≠1）
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)）．仿照上面說明方法，任選一空試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息可以解答本題；
（2）根據(jù)題目給出的信息可以解答本題，然后選擇一空說明理由即可．

解答 解：（1）①∵3⁴=81，∴l(xiāng)og₃81=4；
②∵3¹=3，∴l(xiāng)og₃3=1；
③∵3⁰=1，∴l(xiāng)og₃1=0；
④∵2⁴=16，∴l(xiāng)og_X16=4時，x=2；
故答案為：①4；②1；③0；④2；
（2）由題目中的信息可得，log_aM₁M₂M₃…M_n=log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n，
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN，
故答案為：log_aM₁+log_aM₂+log_aM₃+…+log_aM_n，log_aM-log_aN；
log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN，
理由：設(shè)a^x=M，a^y=N，則log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均為正數(shù)），
∵a^x÷a^y=a^x-y，∴a^x-y=M÷N∴l(xiāng)og_a$\frac{M}{N}$=x-y，
即log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN．

點(diǎn)評 本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以利用新定義進(jìn)行解答問題．