【題目】綜合與實(shí)踐 問(wèn)題情境:

綜合與實(shí)踐課上,同學(xué)們以“三角形紙片的折疊與旋轉(zhuǎn)“為主題展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng),探究有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

動(dòng)手操作:

已知:三角形紙片中,.將三角形紙片按如下步驟進(jìn)行操作:

第一步:如圖1,折疊三角形紙片,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,然后展開(kāi)鋪平,折痕分別交于點(diǎn),連接,易知

第二步:在圖1的基礎(chǔ)上,將三角形紙片沿剪開(kāi),得到.保持的位置不變,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到(點(diǎn)分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)),旋轉(zhuǎn)角為問(wèn)題解決:

1)如圖2,小彬畫(huà)出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的圖形,設(shè)線段交于點(diǎn),連接.小彬發(fā)現(xiàn)所在直線始終垂直平分線段.請(qǐng)證明這一結(jié)論;

2)如圖3,小穎畫(huà)出了旋轉(zhuǎn)角時(shí)的圖形,設(shè)直線與直線相交于點(diǎn),連接判斷此時(shí)的形狀,說(shuō)明理由;

3)在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出兩點(diǎn)間的距離.

【答案】1)見(jiàn)詳解;(2)△COF為等邊三角形,證明見(jiàn)詳解;(3

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)得△ADC≌△FDG,可得對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角分別相等,從而轉(zhuǎn)化證△FDM≌△CDN,進(jìn)一步的得MD=ND,再證得AM=GN后,由此可證△APM≌△GPN,最后利用垂直平分線的判定即可;

2)由第(1)問(wèn)中的結(jié)論結(jié)合90°角可以計(jì)算得到∠OFC=∠OCF=60°,從而得證;

3)首先要畫(huà)出符合題意的圖形,再借助勾股定理利用題目給的已知條件計(jì)算即可.

1)證明:繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

∴△ADC≌△FDG

AD=FD, DG=DC, ∠DAC=∠DFG∠C=∠DGF,∠ADC=∠FDG

∵AD=DC

∴∠DAC=∠C,DA=DF=DC=DG

∴∠DAC=∠DFG=∠C=∠DGF,

∵∠ADC=∠FDG,

∠FDM=∠CDN,

在△FDM△CDN

∴△FDM≌△CDN(ASA)

MD=ND,

MA=NG,

在△APM△GPN

∴△APM≌△GPN (AAS)

PA=PG

∵DA=DG

DP垂直平分AG

2)解:△COF為等邊三角形.

理由如下:∵旋轉(zhuǎn)角

∠FDA=∠GDC=90°

∵DF=DA,DG=DC

∠DFA=∠DAF=∠DGC=∠DCG=45°

∠B=∠DCA=30°

∵AD=DC

∠DAC=∠DCA=30°

∠ADC=120°

∠FDC=360°-∠ADC-∠ADF=360°-120°-90°=150°

∵DF=DC

∠DFC=∠DCF=15°

∠OFC=∠DFC+∠DFA=45°+15°=60°

∠OCF=∠DCG+∠DCF=45°+15°=60°

∠OFC=∠OCF

OC=OF

∵∠OCF=60°

∴△COF為等邊三角形

3)解:如圖1,∵∠BAC=120°,∠DAC=30°

∴∠BAD=90°,

∵∠ABC=30°

∴AD=BD,

∴CD=BD,

∵BC=6

∴CD=AD=2,BD=4

∴FD=AD=2,

∠AFD=30°,

∴OD=FD=1,OF=,

∴BO=BD-OD=4-1=3,

Rt△BOF中,BF=

如圖2BO=BD+OD=4+1=5,

Rt△BOF中,BF=

兩點(diǎn)間的距離為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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娃娃菜

2.4

3

油菜

2

2.5

1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(收益 = 銷售額 成本);

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