Question

幾何模型：
條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A^′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應(yīng)用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

5

；
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值．

Answer 1

分析：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的長；
（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，求出A′C的長即可．
（3）A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA+PC=PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．

解答：解：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，
∵正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

22+12

=

5

，
則PB+PE的最小值是：

5

；

（2）如圖2所示：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

∴A′C=2

3

；
故PA+PC的最小值為2

3

；

（3）如圖3，連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根據(jù)垂徑定理，得到BE=

1

2

AB=4，CF=

1

2

CD=3，
∴OE=

OB2-BE2

=

52-42

=3，
OF=

OC2-CF2

=

52-32

=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7

2

，
則PA+PC的最小值為7

2

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱--最短路線的問題，涉及到正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．