Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（4，4）、B（5，0）和原點O．P為二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C．

（1）求出二次函數(shù)的解析式；

（2）當點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；

（3）當m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）當點P在直線OA的上方時，線段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐標是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．

【解析】

（1）設(shè)y＝ax（x﹣5），把A點坐標代入即可求出答案；

（2）根據(jù)點的坐標求出PC＝﹣m2+4m，化成頂點式即可求出線段PC的最大值；

（3）當0＜m＜4時，僅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；當m≥4時，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分為三種情況：①當OC＝PC時，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐標；同理可求：②當OC＝OP時，③當PC＝OP時，點P的坐標．綜合上述即可得到答案．

解：（1）設(shè)y＝ax（x﹣5），

把A點坐標（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，

解得a＝﹣1，

函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+5x，

答：二次函數(shù)的解析式是y＝﹣x2+5x．

（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，

∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y＝﹣x2+5x上，C在直線OA上，A（4，4），

∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）

∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，

＝﹣（m﹣2）2+4，

∵a＝﹣1＜0，開口向下，

∴有最大值，

當D（2，0）時，PCmax＝4，

答：當點P在直線OA的上方時，線段PC的最大值是4．

（3）當0＜m＜4時，僅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，

解得m＝4﹣，

∴P（4﹣，2+3）；

當m≥4時，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，

由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，

①當OC＝PC時，m2﹣4m＝m，

解得：m＝4+或m＝0（舍去），

∴P（4+，2﹣3）；

②當OC＝OP時，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，

解得：m1＝6，m2＝4，

∵m＝4時，P和A重合，即P和C重合，不能組成△POC，

∴m＝4舍去，

∴P（6，﹣6）；

③當PC＝OP時，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，

解得：m＝5，

∴P（5，0），

答：存在，P的坐標是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．