Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若P是第一象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t

①求線段PM的最大值；

②S△PBM：S△MHB＝1：2時，求t值；

③當(dāng)△PCM是等腰三角形時，直接寫點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）（2）①②③當(dāng)△PCM是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．

【解析】

設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，將A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入即可求；

①先求直線BC的表達(dá)式，再設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，然后將PM的長表示成函數(shù)頂點(diǎn)式即可求;

②將S△PBM：S△MHB＝1：2轉(zhuǎn)化成底之比MH＝2PM，再利用P、M的坐標(biāo)，列出等式，求得兩個值，再經(jīng)化簡即可得；

③分三種情況PC=PM、PC=CM、PM=CM求得t的值，再檢驗(yàn)，即可得.

（1）將A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：

，解得，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．

（2）①設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝mx+n（m≠0），

將B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜3），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，

∴線段PM的最大值為．

②∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（t，0），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝﹣t+3．

∵△PBM和△MHB等高，S△PBM：S△MHB＝1：2，

∴MH＝2PM，即﹣t+3＝﹣2t2+6t，

解得：t1＝，t2＝3（不合題意，舍去），

∴當(dāng)S△PBM：S△MHB＝1：2時，t的值為．

③∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CM＝，PC＝．

當(dāng)PM＝PC時，有﹣t2+3t＝，

∵0＜t＜3，

∴原方程可整理為：2t﹣4＝0，

解得：t＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；

當(dāng)PM＝CM時，有﹣t2+3t＝t，

解得：t1＝0（舍去），t2＝3﹣，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣，﹣2+4）；

當(dāng)CM＝PC時，有t＝，

∵0＜t＜3，

∴原方程可整理為：t2﹣4t+3＝0，

解得：t1＝1，t2＝3（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）．

綜上所述：當(dāng)△PCM是等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．