Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，如圖，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．

Answer 1

證明：連接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，D為BC中點，
∴AD==BD=CD，
且AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即：∠EDF=90°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
分析：先連接AD，構造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是畫出輔助線AD，再證出△BDE≌△ADF和∠EDF=90°．