Question

（2013•齊齊哈爾）已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在AC邊的延長(zhǎng)線上，且∠DEC=45°，點(diǎn)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，連接MN交直線BE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)D在CB邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1所示，易證MF+FN=

1

2

BE

（1）當(dāng)點(diǎn)D在CB邊上時(shí)，如圖2所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）首先對(duì)結(jié)論作出否定，寫出猜想FN-MF=

1

2

BE，連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，可得MN=

1

2

AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，結(jié)合MN=FN-MF，于是證明出猜想．
（2）連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，可得MN=

1

2

AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，結(jié)合MN=FM-FN，得到結(jié)論MF-FN=

1

2

BE．

解答：（1）答：不成立，
猜想：FN-MF=

1

2

BE，
理由如下：
證明：如圖2，連接AD，
∵M(jìn)、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

AD，
又∵在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACB=∠BCE DC=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵M(jìn)N=FN-MF，
∴FN-MF=

1

2

BE；

（2）圖3結(jié)論：MF-FN=

1

2

BE，
證明：如圖3，連接AD，
∵M(jìn)、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

AD，
∵在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴MN=

1

2

BE，
∵M(jìn)N=FM-FN，
∴MF-FN=

1

2

BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)用類比的方法去解決問題，本題難度不是很大，答題的時(shí)候需要一定的耐心．