Question

【題目】在中，，，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），將線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，作射線與射線，兩射線交于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)在線段上，如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的關(guān)系．

（2）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在（2）的條件下，連接，為的中點(diǎn)，連接，若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結(jié)論仍然成立；理由見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）首先通過(guò)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則有，，進(jìn)而可得出，則可證明，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，則可證明；

（2）首先通過(guò)等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則有，，進(jìn)而可得出，則可證明，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，則可證明；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，首先通過(guò)等腰直角三角形解出BC,CF,AN,CN的長(zhǎng)度，然后利用求出EN的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出EC,EF的長(zhǎng)度，再利用求出HG,EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求FH的長(zhǎng)度，最后利用勾股定理即可求解．

解：（1），，

理由如下：∵，，

∴．

∵將線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（2）結(jié)論仍然成立，

理由如下：∵，，

∴．

∵將線段繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，

∴，，

∴，且，，

∴

∴，，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，

∵，

∴．

∵，，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，且，

∴，，

∴，

∴．