Question

5．如圖，⊙O₁與⊙O₂外切點A，半徑為r₁，r₂，PB，PC分別為兩圓的切線，B，C為切點，PB：PC=r₁：r₂，又PA交⊙O₂于點E，則下面結論不正確的是（　�。�

• A． S_△PAB：S_△PCE=r₁²：r₂²
• B． PA：PD=r₂：r₁
• C． AE：AD=r₂：r₁
• D． PB：PD=r₂：r₁

Answer 1

分析 先證明△O₁PB∽△O₂PC推出△O₁AP≌△O₂EP，再由△PAB∽△PEC得$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△PCE}}$=$\frac{P{B}^{2}}{P{C}^{2}}$═$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$，故A正確；由△PO₁D∽△PO₂A得到$\frac{PA}{PD}=\frac{{O}_{2}A}{{O}_{1}D}=\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$，故B正確；由△O₁AD∽△O₂AE，得$\frac{AE}{AD}$=$\frac{{O}_{2}A}{{O}_{1}A}$=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$故C正確；由此不難判斷結論．

解答 解：∵PB，PC分別為兩圓的切線，
∴∠O₁BP=∠O₂CP，=90°，
∵$\frac{PB}{PC}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{{O}_{1}B}{{O}_{2}C}$，
∴△O₁PB∽△O₂PC，
∴∠3=∠4，$\frac{P{O}_{1}}{P{O}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{{O}_{1}A}{{O}_{2}A}$，
∴PA平分∠O₁PO₂，即∠1=∠2，
∴∠APB=∠APC，
∵₂OA=O₂E，
∴∠O₁AP=∠O₂EP，
∴△O₁AP≌△O₂EP，
∴$\frac{PA}{PE}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴△PAB∽△PEC，
∴$\frac{{S}_{△PAB}}{{S}_{△PCE}}$=$\frac{P{B}^{2}}{P{C}^{2}}$═$\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}$；故A正確；
∵$\frac{PA}{PE}$=$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{{O}_{1}D}{{O}_{2}A}$，
∴△PO₁D∽△PO₂A，
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{{O}_{2}A}{{O}_{1}D}=\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$；故B正確；
∵∠O₁DA=∠O₁AD=∠O₂AE=∠O₂EA，
∴△O₁AD∽△O₂AE，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{{O}_{2}A}{{O}_{1}A}$=$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$；故C正確；
綜上，不正確的選D．
故選D．

點評 本題考查了切線的性質、相似三角形的判定和性質、記住圓的切線垂直于經過切點的半徑，相似三角形的面積比等于相似比的平方，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的尋找解決問題，屬于中考�？碱}型．